Question

（本小题满分13分）
如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.

（Ⅰ）若点是棱的中点，求证:平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点.又点是棱的中点，
所以是的中位线，.                     ………………1分
因为平面,平面,
所以平面.                          ………………3分
（Ⅱ）解：由题意，，
因为，
所以，. ………………4分
又因为菱形，所以，.
建立空间直角坐标系，如图所示.

.
所以                    ………………6分
设平面的法向量为，
则有即：
令，则，所以.           ………………7分
因为,所以平面.    
平面的法向量与平行，
所以平面的法向量为.                      ………………8分
，
因为二面角是锐角，
所以二面角的余弦值为.               ……………9分
（Ⅲ）解：因为是线段上一个动点，设，，
则，
所以，                              ……………10分
则，，
由得，即，…………11分
解得或，                                        ……………12分
所以点的坐标为或.                          ……………13分
（也可以答是线段的三等分点，或）

略