Question

18．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，（2a-c）cosB-bcosC=0．
（1）求角B的大小；
（2）设函数f（x）=2sinxcosxcosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x，求函数f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得sinA=2sinAcosB，结合范围sinA≠0，可得cosB=$\frac{1}{2}$，又0＜B＜π，从而得解B的值．
（2）三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），令$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$即可解得函数f（x）的最大值及当f（x）取得最大值时x的值．

解答 （本题满分12分）计算：
解：（1）正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
则sin（B+C）=sinA=2sinAcosB．…（2分）
又sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，又0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（4分）
（2）∵f（x）=2sinxcosxcosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x，
∴$f（x）=\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{3}）$，
当$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$时$x=kπ+\frac{5π}{12}（k∈Z）$，即当$x=kπ+\frac{5π}{12}（k∈Z）$时f（x）取最大值1．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．