Question

6．给出下列命题：
①若等比数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₁₀₀，S₂₀₀-S₁₀₀，S₃₀₀-S₂₀₀成等比数列；
②将三进制数201102_（3）化为八进制数，结果为1014_（8）；
③已知等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，且满足$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，则$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{12}}{{b}_{2}{+b}_{4}{+b}_{9}}$=$\frac{3}{2}$；
④用秦九韶算法求多项式f（x）=7x³+3x²-5x+11在x=2时的值，在运算过程中，一定会出现数值221；
⑤等差数列{a_n}中，S_n是它的前n项之和，且，则S₆＜S₇，S₈＜S₇，则S₉一定小于S₆，且S₇一定是S_n中的最大值．
其中正确的是②③⑤（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析 可举公比-1，即可判断①；分别将三进制数、八进制数改写成十进制数，即可判断②；
设出A_n=2kn²，B_n=kn（n+3），求出通项，计算即可判断③；
将f（x）=7x³+3x²-5x+11=x（x（7x+3）-5）+11，即可判断④；
由题意可得a₇=S₇-S₆＞0，a₈=S₈-S₇＜0，即公差d＜0，即可判断⑤．

解答 解：对于①，若等比数列{a_n}的公比为-1，则S₁₀₀=0，S₂₀₀-S₁₀₀=0，S₃₀₀-S₂₀₀=0不成等比数列，故①错；
对于②，三进制数201102_（3）=2×3⁵+0×3⁴+1×3³+1×3²+0×3¹+2×3⁰=524，
1014_（8）=1×8³+0×8²+1×8+4=524，故②对；
对于③，由$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n}{n+3}$，可设A_n=2kn²，B_n=kn（n+3），即有a_n=2k+4k（n-1）=4kn-2k，
b_n=4k+2k（n-1）=2kn+2k，则$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{12}}{{b}_{2}{+b}_{4}{+b}_{9}}$=$\frac{2k+6k+46k}{6k+10k+20k}$=$\frac{3}{2}$，故③对；
对于④，f（x）=7x³+3x²-5x+11=x（x（7x+3）-5）+11，则v₀=7，v₁=7×2+3=17，v₂=17×2-5=29，
v₃=29×2+11=69，故④错；
对于⑤，由S₆＜S₇，S₈＜S₇，即有a₇=S₇-S₆＞0，a₈=S₈-S₇＜0，即公差d＜0，则a₁＞0，…，a₇＞，a₈＜0，…，
则S₇一定是S_n中的最大值，且S₉-S₈+S₈-S₇+S₇-S₆=a₉+a₈+a₇=3a₈＜0，即有S₉＜S₆．故⑤对．
故答案为：②③⑤．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查三进制与八进制的关系，以及秦九韶算法的特点，属于中档题和易错题．