Question

4．若x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}}{{x}^{2}+{x}^{-2}}$的值．

Answer 1

分析 由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，x²+x^-2=（x+x^-1）²-2，再利用立方和公式即可得出．

解答 解：∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=3²-2=7；
∴x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=7²-2=47，
∴$\frac{{x}^{\frac{3}{2}}+{x}^{-\frac{3}{2}}}{{x}^{2}+{x}^{-2}}$=$\frac{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）（x+{x}^{-1}-2）}{{x}^{2}+{x}^{-2}}$=$\frac{3×（7-2）}{47}$=$\frac{15}{47}$．

点评 本题考查了乘法公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．