Question

4．设x=1是函数f（x）=（x²+ax+b）e^1-x（x∈R）的一个极值点．
（1）求b的值．并用a表示函数f（x）的单凋区间；
（2）设a＞0，求函数f（x）在区间[0，4]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解得b=1，再对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，解不等式即可得到所求单调区间；
（2）由（1）的a＞0的单调区间，讨论a=1，a＞1，0＜a＜1，函数的单调性，求得最值，即可得到所求值域．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²+ax+b）e^1-x的导数为
f′（x）=（2x+a）•e^1-x-（x²+ax+b）•e^1-x，
由题意可得f′（1）=0，
即2+a-（1+a+b）=0，
解得b=1；
则f′（x）=-e^1-x•（x-1）（x-1+a），
当a=0时，f′（x）≤0，f（x）在R上递减；
当a＞0时，1-a＜1，f（x）在（1-a，1）上递增，
在（1，+∞），（-∞，1-a）上递减；
当a＜0时，1-a＞1，f（x）在（1，1-a）上递增，
在（1-a，+∞），（-∞，1）上递减．
（2）由a＞0，f（x）=（x²+ax+1）e^1-x在（1-a，1）上递增，
在（1，+∞），（-∞，1-a）上递减，
当a=1时，f（x）在（0，1）递增，在（1，4）递减，
则f（x）的最大值为f（1）=3，最小值为f（4）=$\frac{21}{{e}^{3}}$，
即有值域为[$\frac{21}{{e}^{3}}$，3]；
当a＞1时，1-a＜0，则f（x）在（0，1）递增，在（1，4）递减，
则f（x）的最大值为f（1）=2+a，最小值为f（0），f（4）中较小的记为s，
即有值域为[s，2+a]；
当0＜a＜1时，1-a＞0，则f（x）在（0，1-a），（1，4）递减，在（1-a，1）递增，
即有f（0）=e，f（1）=2+a，f（1-a）=（2-a）•e^a，
f（4）=（17+4a）•e^-3，
当a=e-2时，f（x）的最大值为e，最小值为（4e+9）•e^-3，
值域为[（4e+9）•e^-3，e]；
当e-2＜a＜1时，f（x）的最大值为2+a，最小值为f（1-a）和f（4）中的较小的记为m，
值域为[m，2+a]；
当0＜a＜e-2时，f（x）的最大值为e，最小值为f（1-a）和f（4）中的较小的记为n，
值域为[n，e]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，最值，考查函数的值域的求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．