Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求f（x）在[2，4]上的最大值
（2）若a≠$\frac{1}{2}$，试求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求导，根据函数的极值点求出a的值，再判断函数f（x）在[2，4]上的单调性，求出函数最值．
（2）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；

解答 解：（1）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴a-（2a+1）+2=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，
∴f′（x）=x-3+$\frac{2}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜1，或x＞2，函数单调递增，
∴f（x）在[2，4]上单调递增，
∴f（x）_max=f（4）=-4+ln16；
（2）∵f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$，x＞0
△=（2a+1）²-8a=（2a-1）²＞0恒成立，
令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{2a+1+|2a-1|}{2a}$，或x₂=$\frac{2a+1-|2a-1|}{2a}$，
①当2a-1＞0时，即a＞$\frac{1}{2}$时，x₁=2，x₂=$\frac{1}{a}$，且x₁＞x₂＞0，
当f′（x）＞0时，即x＞2，或0＜x$＜\frac{1}{a}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即$\frac{1}{a}$＜x＜2，函数单调递减，
②当2a-1＜0时，且a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$，x₁=$\frac{1}{a}$，x₂=2，且x₁＞x₂＞0，
当f′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{a}$，或0＜x＜2，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即2＜x＜$\frac{1}{a}$，函数单调递减，
③当a＜0时，x₁=$\frac{1}{a}$（舍去），x₂=2，
当f′（x）＞0时，即x＞2，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜2，函数单调递减，
④当a=0时，f（x）=-x+2lnx，
∴f′（x）=-1+$\frac{2}{x}$=$\frac{2-x}{x}$，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜2，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＞2，函数单调递减，
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
当a=0时，函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）和（0，2）上函数单调递增，在（2，$\frac{1}{a}$）上单调递减，
当a＞$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（2，+∞）和（0，$\frac{1}{a}$）上函数单调递增，在（$\frac{1}{a}$，2）上单调递减．

点评 本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查函数单调性的性质，构造函数求解证明不等式问题，属于中档题．