题目内容

19.非负实数a1,a2,…an,满足a1a2…an=1,对于n≥4,证明$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$≥n+3.

分析 由a1a2…an=1得:当n≥2时,a1a2…an-1=1,两个式子相除求出an、$\frac{1}{{a}_{n}}$,代入不等式的左边化简即可证明结论成立.

解答 证明:由题意得,a1a2…an=1,①
所以当n≥2时,a1a2…an-1=1,②
$\frac{①}{②}$得an=1,则$\frac{1}{{a}_{n}}$=1,
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=n+$\frac{3n}{n}$=n+3,
所以$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$≥n+3成立.

点评 本题考查数列的递推公式的化简、变形,以及数列与不等式的问题.

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