Question

3．已知函数g（x）=alnx+x²-（a+2）x．
（1）当a=1时，求函数g（x）的极值；
（2）设定义在D上的函数y=f（x）在点P（m，f（m））处的切线方程为l：y=h（x），当x≠m，若$\frac{f（x）-h（x）}{x-m}$＞0在D内恒成立，则称P为函数y=f（x）的“界点”．当a=8时，问函数y=g（x）是否存在“界点”？若存在，求出“界点”的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求导，再判断函数的单调性，即可得到函数的极值；
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，再构造函数f（x）=g（x）-h（x），利用导数和界点的定义，分类讨论即可求出．

解答 解：（1）当a=1时，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$或x=1，
当g′（x）＞0时，即0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞1时，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即$\frac{1}{2}$＜x＜1时，函数g（x）单调递减，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，函数g（x）有极大值，即g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，
当x=1时，函数g（x）有极小值，即g（1）=-2；
（Ⅱ）a=8时，g（x）=8lnx+x²-10x，
∴g′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10，
由y=g（x）在其图象上一点P（m，f（m））处的切线方程，
得h（x）=（2m+$\frac{8}{m}$-10）（x-m）-8lnm-m²+10m，
∴h′（x）=2m+$\frac{8}{m}$-10，
设f（x）=g（x）-h（x），则f（m）=0，
f′（x）=g′（x）-h′（x）=$\frac{8}{x}$+2x-10-2m-$\frac{8}{m}$+10=$\frac{2}{x}$（x-m）（x-$\frac{4}{m}$），
当0＜m＜2时，f（x）在（m，$\frac{4}{m}$）上递减，
∴x∈（m，$\frac{4}{m}$）时，f（x）＜f（m）=0，此时$\frac{f（x）}{x-m}$＜0，
m＞2时，f（x）在（$\frac{4}{m}$，m）上递减；
∴x∈（$\frac{4}{m}$，m）时，f（x）＞f（m）=0，此时$\frac{f（x）}{x-m}$＜0，
∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“界点”，
m=2时，f′（x）=$\frac{2}{x}$（x-2）²，即f（x）在（0，+∞）上是增函数；
x＞m时，f（x）＞f（m）=0，x＜m时，f（x）＜f（m）=0，
即点P（m，f（m））为“界点”，
故函数y=g（x）存在“界点”，且2是“界点”的横坐标，
∴g（2）=8ln2+4-20=-16+8ln2，
∴“界点”的坐标位（2，-16+8ln2）

点评 本题考查导数和函数的极值的关系，考查类界点的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数性质的灵活运用．