Question

16．斜率为2的直线l被双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1截得的弦长为2$\sqrt{5}$，则直线l的方程是y=2x±$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先设出直线l的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由弦长公式求出弦长，让弦长为2$\sqrt{5}$，即可求出参数的值．

解答 解：设直线l的方程为y=2x+m，与双曲线交于A，B两点．
设A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=2x+m代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
并整理得：16x²+20mx+5（m²+4）=0，
判别式为400m²-4×16×5（m²+4）＞0，
即为m²＞16，解得m＞4或m＜-4．
∴x₁+x₂=-$\frac{5}{4}$m，x₁x₂=$\frac{5}{16}$（m²+4），
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{25}{16}$m²-$\frac{5}{4}$（m²+4）
∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=5（x₁-x₂）²=$\frac{125}{16}$m²-$\frac{25}{4}$（m²+4）=20，
解得：m=±$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．成立．
∴所求直线的方程为：y=2x±$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：y=2x±$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，主要考查韦达定理和弦长公式的应用，属于中档题．