Question

【题目】(2015·新课标I卷）已知函数f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.
（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；
（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，讨论h（x）零点的个数.

Answer 1

【答案】
（1）

a=-

（2）

当a>-或a<-时，h（x）由一个零点；当a=-或a=-时，h（x）有两个零点；当-<a<-时，h（x）有三个零点.

【解析】（Ⅰ）设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0, 0)，则f(x0)=0，f'(x0)=0，即，解得x0=,a=-.
因此，当a=-时，x轴是曲线y=f(x)的切线.
(II)当x,g(x)=-lnx<0, 从而h（x）=min{f(x),g(x)}g(x)<0, ∴h(x)在无零点。当x=1时，若a,则f(1)=a+<0, h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0, 故x=1不是h(x)的零点。
当x(0,1)时，g(x)=-lnx>0, 所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数。
（i)若a-3或a0, 则f'（x)=3x2+a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)=,f(1)=a+, 所以当a-3时，f(x)在（0,1）有一个零点，当a0时，f(x)在（0,1）无零点，
（ii) 若-3<a<0, 则f(x)在（0，)单调递减，在（，1）单调递增，故当x=时，f(x)取得最小值，最小值为f()=+.
1. 若f()>0, 即-<a<0, f(x)在（0,1）无零点。
2， 若f()=0, 即a=- f(x)在（0,1）有唯一零点。
3， 若f()<0, 即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以当-<a<-时，f(x)在（0,1）有两个零点；当-3<a-时，f(x)在（0,1）有一个零点。
综上，当a>-或a<-时，h(x)由一个零点，当a=-或a=-时，h(x)有两个零点，当-<a<-时，h(x)有三个零点。