题目内容
【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,AD=AP=3,点M是棱PD的中点.
(1)求二面角M—AC—D的余弦值;
(2)点N是棱PC上的点,已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,根据平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.
(2)设,由此求得,根据直线与平面所成角的正弦值列方程,解方程求得的值,进而求得.
(1)以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz,
则各点的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),M(0,,),
=(0,0,3),=(2,3,0),=(0,,)
因为PA⊥平面ABCD,所以平面ACD的一个法向量为=(0,0,3),
设平面MAC的法向量为=(x,y,z),所以,
即,取=(3,﹣2,2),
∴cos<,>=,
∴二面角M—AC—D的余弦值为;
(2)设,其中,
∴,
∵平面ABCD的一个法向量为=(0,0,3),
∴
∵直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为,
∴,∴,
化简得,即,∴.
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