Question

15．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂．若双曲线C上存在一点P，使得△PF₁F₂为等腰三角形，且cos∠PF₁F₂=$\frac{1}{8}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 通过分析可知F₁F₂=PF₂=2c，利用双曲线的定义可知PF₁=2c-2a，通过余弦定理化简得3c²-7ac+4a²=0，进而计算可得结论．

解答 解：由题可知，边F₁F₂为腰，
则等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，
根据双曲线的定义可知PF₁=2c-2a，
∵cos∠PF₁F₂=$\frac{1}{8}$，
∴$P{{F}_{2}}^{2}$=$P{{F}_{1}}^{2}$+${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$-2PF₁•F₁F₂cos∠PF₁F₂，
即4c²=4c²+4（c-a）²-2•（2c-2a）•2c•$\frac{1}{8}$，
化简得：3c²-7ac+4a²=0，
∴3e²-7e+4=0，
解得e=$\frac{4}{3}$或e=1（舍），
故选：A．

点评 本题考查求双曲线的离心率，涉及到余弦定理等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．