Question

7．已知矩阵A=$[\begin{array}{l}{3}&{3}\\{2}&{4}\end{array}]$．
（1）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值和特征向量；
（3）求圆x²+y²=1在经过矩阵A对应的变换后得到的曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据AA^-1=$[\underset{\stackrel{1}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{0}{\;}}{1}]$，求出A的逆矩阵A^-1；
（2）根据矩阵A的特征多项式，求出A的特征值与特征向量；
（3）求出圆x²+y²=1上任意一点，经过矩阵A对应的变换后得到点满足的方程即可．

解答 解：（1）∵A=$[\underset{\stackrel{3}{\;}}{2}$ $\underset{\stackrel{3}{\;}}{4}]$，
AA^-1=$[\underset{\stackrel{1}{\;}}{0}$ $\underset{\stackrel{0}{\;}}{1}]$，
∴A^-1=$[\underset{\stackrel{\frac{2}{3}}{\;}}{-\frac{1}{3}}$ $\underset{\stackrel{-\frac{1}{2}}{\;}}{\frac{1}{2}}]$；
（2）矩阵A=$[\underset{\stackrel{3}{\;}}{2}$ $\underset{\stackrel{3}{\;}}{4}]$的特征多项式为：f（λ）=$|\underset{\stackrel{λ-3}{\;}}{-2}$ $\underset{\stackrel{-3}{\;}}{λ-4}|$=λ²-7λ+6；
令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值为：λ₁=6，λ₂=1；
把λ₁=6代入方程组$\left\{\begin{array}{l}{（λ-3）x-3y=0}\\{-2x+（λ-4）y=0}\end{array}\right.$，解得x=y，
所以矩阵A的属于特征值6的一个特征向量为α₁=$[\underset{\stackrel{1}{\;}}{1}]$；
再把λ₂=1代入方程组$\left\{\begin{array}{l}{（λ-3）x-3y=0}\\{-2x+（λ-4）=0}\end{array}\right.$，解得2x=-3y，
所以矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为α₂=$[\underset{\stackrel{3}{\;}}{-2}]$；
（3）设（x₀，y₀）是圆x²+y²=1上任意一点，
它在经过矩阵A对应的变换后得到点（x，y），
由$[\underset{\stackrel{x}{\;}}{y}]$=$[\underset{\stackrel{3}{\;}}{2}$ $\underset{\stackrel{3}{\;}}{4}]$ $[\underset{\stackrel{{x}_{0}}{\;}}{{y}_{0}}]$=$[\underset{\stackrel{{3x}_{0}+{3y}_{0}}{\;}}{{2x}_{0}+{4y}_{0}}]$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x={3x}_{0}+{3y}_{0}}\\{y={2x}_{0}+{4y}_{0}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{4x-3y}{6}}\\{{y}_{0}=\frac{-2x+3y}{6}}\end{array}\right.$；
代入${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，
整理得10x²+9y²-18xy-18=0，即为所求．

点评 本题考查了高等数学中的矩阵以及矩阵的变换应用问题，也考查了求矩阵的逆矩阵与特征向量的应用问题．