题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)若不等式对
,
恒成立,求正数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求函数的导数,当时,分类讨论
也可求得
的单调性;
(2)若不等式对
,
恒成立,将原问题等价于对任意的
,
有
成立,设
,
,
,
,求函数的最值从而可求正数
的取值范围.
解:函数.
所以.
(1)①当时,
,
在
上单调递增,
②当时,
,
,
在
上单调递增,
,
.
在
上单调递减;
,
,
在
上单调递增.
③当时,
,
,
在
上单调递增,
,
,
在
上单调递减;
,
.
在
上单调递增;
(2)若不等式对
,
恒成立,
原问题等价于对任意的,
有
成立,
设,
,
,
,
,
令,得:
;令
,得:
.
所以函数在
,
上单调递减,在
,
上单调递增,
与
中的较大者,
设,
则,
所以在
上单调递增,故
,即
,
从而,故
,即
.
设,则有
,
所以在
上单调递增,
又因为,
所以,可得:
,
因为,所以
的取值范围为:
,
.
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