Question

9．如图，已知点A、B的坐标分别是（-3，0），（3，0），点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆O₁，O₂的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 作MC⊥AB，交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，可得M为线段PQ的中点，连接O₁M，O₂M，则∠O₁MO₂=90°，|O₁M|²+|O₂M|²=|O₁O₂|²，即可求出线段PQ的中点的轨迹方程．

解答 解：作MC⊥AB，交PQ于点M，则MC是两圆的公切线，
∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，
∴M为线段PQ的中点，
设M（x，y），则C（x，0），O₁（$\frac{-3+x}{2}$，0），O₂（$\frac{3+x}{2}$，0），连接O₁M，O₂M，则∠O₁MO₂=90°，
∴|O₁M|²+|O₂M|²=|O₁O₂|²，
∴（x-$\frac{-3+x}{2}$）²+y²+（x-$\frac{3+x}{2}$）²+y²=（$\frac{-3+x}{2}$-$\frac{3+x}{2}$）²，
∴x²+4y²=9，
∵点C为线段AB上任一点，AC和BC为直径，
∴-3＜x＜3，
∴线段PQ的中点的轨迹方程为x²+4y²=9（-3＜x＜3）．

点评 本题考查线段PQ的中点的轨迹方程，考查圆的知识，考查学生分析解决问题的能力，确定M为线段PQ的中点是关键．