Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{ax+2}$（a＜0），其反函数f^-1（x）．
（1）若点P（$\sqrt{3}$，-1）在反函数f^-1（x）的图象上，求a的值．
（2）求证：函数f（x）的图象与y=x的图象有且仅有一个公共点．

Answer 1

分析 （1）由点P（$\sqrt{3}$，-1）在反函数f^-1（x）的图象上，可得点Q（-1，$\sqrt{3}$）在函数f（x）的图象上，代入可得a的值．
（2）联立函数f（x）=$\sqrt{ax+2}$（a＜0）和y=x，根据方程组只有一个满足条件的解，可得结论．

解答 解：（1）点P（$\sqrt{3}$，-1）在反函数f^-1（x）的图象上，
则点Q（-1，$\sqrt{3}$）在函数f（x）的图象上，
即$\sqrt{-a+2}=\sqrt{3}$，
解得：a=-1，
证明：（2）∵函数f（x）=$\sqrt{ax+2}$（a＜0）的定义域为（-∞，$-\frac{2}{a}$]，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{ax+2}\\ y=x\end{array}\right.$得：x²-ax-2=0，
解得：x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$，或x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+8}}{2}$（舍去）
故函数f（x）的图象与y=x的图象有且仅有一个公共点．

点评 本题考查的知识点是反函数，函数图象的交点，熟练掌握并正确理解互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，是解答的关键．