题目内容
8．已知数列{an}中，a1=1，n≥2时，an=$\frac{1}{3}$an-1-$\frac{8}{{3}^{3-n}}$-$\frac{2}{3}$，若{an+3n-1+t}是等比数列，则{an}的通项公式为an=-3n-1-1+（$\frac{1}{3}$）n-1．分析 根据数列{an+3n-1+t}是等比数列 待定系数法求出t，结合等比数列，
解答 解：an=$\frac{1}{3}$an-1-$\frac{8}{{3}^{3-n}}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$an-1-8•3n-3-$\frac{2}{3}$，
若{an+3n-1+t}是等比数列，
∴设an+3n-1+t=p（an-1+3n-2+t），
即an+3n-1+t=pan-1+p•3n-2+tp，
即an=pan-1+p•3n-2+tp-3n-1-t=pan-1+（p-3）•3n-2+（p-1）t，
∵an=$\frac{1}{3}$an-1-8•3n-3-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$an-1-$\frac{8}{3}$•3n-3-$\frac{2}{3}$，
∴p=$\frac{1}{3}$，p-3=-$\frac{8}{3}$，（p-1）t=-$\frac{2}{3}$，
解得p=$\frac{1}{3}$，t=1，
即{an+3n-1+1}是等比数列，公比q=$\frac{1}{3}$，首项为a1+1+1=1+1+1=3，
则an+3n-1+1=3•（$\frac{1}{3}$）n=（$\frac{1}{3}$）n-1，
即an=-3n-1-1+（$\frac{1}{3}$）n-1，
故答案为：an=-3n-1-1+（$\frac{1}{3}$）n-1．
点评 本题主要考查数列通项公式的求解，根据等比数列的定义，结合数列的递推关系，利用待定系数法是解决本题的关键．
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