题目内容
【题目】设,
,其中m是不等于零的常数.
(1)时,直接写出
的值域;
(2)求的单调递增区间;
(3)已知函数,
,定义:
,
,
,
,其中,
表示函数
在
上的最小值,
表示函数
在
上的最大值.例如:
,
,则
,
,
,
.当
时,
恒成立,求n的取值范围.
【答案】(1);(2)当
或
,增区间为
;当
,增区间为
;(3)
.
【解析】
(1)将,写出
的解析式,由基本不等式可知
,
的值域;
(2)求导,讨论取值范围,判断函数的递增区间;
(3)依题意可得,
,再对两个函数进行作差,求出
的取范围,从而求得n的取值范围.
(1)时,
,
,
,
的值域
,
;
(2),
①当时,
在
,
恒成立,所以
在
,
递增;
②当时,
,
当时,
在
,
恒成立,所以
在
,
递增;
当时,由
可得:
,
,所以
在
,
递增;
综上所述:当或
,增区间为
;当
,增区间为
。
(3)当时,函数
,所以函数在
递减,在
递增,
依题意可得:,
,
,
.
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