题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,
,且
(
),数列
满足
,
,对任意
,都有
;
(1)求数列、
的通项公式;
(2)令,若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
【答案】(1),
;(2)
;
【解析】
(1)利用,再写一式,两式相减,再利用累乘法即可求数列
的通项公式;由题意判断数列
为等比数列,直接写出通项公式; (2)利用错位相减法求数列的和,在将不等式转化为
恒成立,构造函数,利用函数的性质,即可确定实数
的取值范围.
(1)因为,所以当
时,
,两式相减得
,
所以,即
,
所以,
满足上式,故数列
的通项公式
.
由题意知是以
为首项,
为公比的等比数列,所以
.
(2)因为①,
所以②,
由①②得
所以.
又,所以不等式
即为,即
恒成立,
构造函数(
),
当时,
恒成立,则
满足条件;
当时,由二次函数性质知不恒成立;
当时,由于
,则
在
上单调递减,
恒成立,则
满足条件,
综上所述,实数的取值范围是
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