Question

【题目】如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．
（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；
（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．

在Rt△MAN中，sinθ= = ，故NA=2sinθ，

在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ= = ，cosθ= = ，

故PD=sinθ，ND=cosθ．

在Rt△PDA中，PA= =

= ，

所以l（θ）= ，

函数l（θ）的定义域为（0， ）．

（2）解：由（1）可知，l（θ）= ，

即l（θ）= =

= = = ，

又θ∈（0， ），故2θ﹣ ∈（﹣ ， ），所以当2θ﹣ = ，

即θ= 时，sin（2θ﹣ ）取最大值1，

l（θ）max= =1+ ．

答：当θ= 时，l（θ）有最大值，最大值为1+ ．

【解析】（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．运用直角三角形中锐角三角函数的定义，求得PD，ND，PA；（2）运用同角的平方关系和二倍角公式及两角和差函数公式，化简函数式，再由正弦函数的图形和性质，可得最大值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．