题目内容
【题目】综合题
（1）已知函数f（x）=2x+ 
（x＞0），证明函数f（x）在（0， 
）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）记函数g（x）=a|x|+2ax（a＞1） ①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；
②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．
【答案】
（1）证明：设x1，x2是区间（0， 
）上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（ 
﹣ 
）= 
，
因为0＜x1＜x2＜ ，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ 
，故2x1x2﹣1＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（0， ）上单调递减，
函数f（x）的单调递增区间为（ ，+∞）．
（2）解：①当a=4时，4|x|+24x=3，
（ⅰ）当x≥0时，4x+24x=3，即4x=1，所以x=0；
（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+24x=3，
即2（4x）2﹣34x+1=0，
解得：4x=1或4x= ，
所以x=﹣ 或0（舍去）；
综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣ ；
②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3ax，其中a＞1，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，
所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；
（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2ax，其中a＞1，
令t=ax，则t∈[ 
，1），g（x）=2t+ 
=f（t），
（ⅰ）若1＜a≤ 
，则 ≥ ，
据（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ，1）上单调递增，
所以f（ ）≤f（t）＜f（1），且f（ ）=a+ 
，f（1）=3，
此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+ ，3）；
（ⅱ）若a＞ ，则 ＜ ，
据（1）可知，f（t）=2t+ 
在[ 
， 
）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，
所以f（t）min=f（ ）=2 
，又f（ ）=a+ 
，f（1）=3，
当f（ ）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2 ，a+ ]，
当f（ ）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2 ，3）；
综上所述，当1＜a≤ 时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+ ，+∞；
当a＞ 时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2 ，+∞）．
【解析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）①将a=4带入g（x），通过讨论x的正负，去掉绝对值号，解方程即可；②通过讨论x的范围，求出g（x）的单调性，从而求出g（x）的值域即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数的单调性的理解，了解注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．
