题目内容
【题目】综合题
(1)已知函数f(x)=2x+ (x>0),证明函数f(x)在(0,
)上单调递减,并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)记函数g(x)=a|x|+2ax(a>1) ①若a=4,解关于x的方程g(x)=3;
②若x∈[﹣1,+∞),求函数g(x)的值域.
【答案】
(1)证明:设x1,x2是区间(0, )上的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=2(x1﹣x2)+( ﹣
)=
,
因为0<x1<x2< ,所以x1﹣x2<0,0<x1x2<
,故2x1x2﹣1<0,
所以f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0, )上单调递减,
函数f(x)的单调递增区间为( ,+∞).
(2)解:①当a=4时,4|x|+24x=3,
(ⅰ)当x≥0时,4x+24x=3,即4x=1,所以x=0;
(ⅱ)当x<0时,4﹣x+24x=3,
即2(4x)2﹣34x+1=0,
解得:4x=1或4x= ,
所以x=﹣ 或0(舍去);
综上所述,方程g(x)=3的解为x=0或x=﹣ ;
②(ⅰ)当x≥0时,g(x)=3ax,其中a>1,
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)min=g(0)=3,
所以g(x)在[0,+∞)上的值域为[3,+∞);
(ⅱ)当x∈[﹣1,0)时,g(x)=a﹣x+2ax,其中a>1,
令t=ax,则t∈[ ,1),g(x)=2t+
=f(t),
(ⅰ)若1<a≤ ,则
≥
,
据(1)可知,f(t)=2t+ 在[
,1)上单调递增,
所以f( )≤f(t)<f(1),且f(
)=a+
,f(1)=3,
此时,g(x)在[﹣1,0)上的值域为[a+ ,3);
(ⅱ)若a> ,则
<
,
据(1)可知,f(t)=2t+ 在[
,
)上单调递减,在(
,1)上单调递增,
所以f(t)min=f( )=2
,又f(
)=a+
,f(1)=3,
当f( )≥f(1)时,g(x)在[﹣1,0)上的值域为[2
,a+
],
当f( )<f(1)时,g(x)在[﹣1,0)上的值域为[2
,3);
综上所述,当1<a≤ 时,函数g(x)在[﹣1,+∞)上的值域为[a+
,+∞;
当a> 时,函数g(x)在[﹣1,+∞)上的值域为[2
,+∞).
【解析】(1)根据函数单调性的定义证明即可;(2)①将a=4带入g(x),通过讨论x的正负,去掉绝对值号,解方程即可;②通过讨论x的范围,求出g(x)的单调性,从而求出g(x)的值域即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,以及对函数的单调性的理解,了解注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种.
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