题目内容
【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）
【解法一】：在图1中，由题意知，
，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO平面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD
【解法二】：在图1中，由题意，得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC面ABC，∴BC⊥平面ACD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且
，S△ACD=
×2×2=2，
所以三棱锥B﹣ACD的体积为：
，
由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：
．
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