题目内容
【题目】已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的左顶点坐标为,离心率为
.
求椭圆E的方程;
过点
作直线l交E于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使
为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】1
;
2
.
【解析】
设出椭圆的方程,得到关于a,c的方程组,解出即可求出椭圆方程;
假设存在符合条件的点
,设
,
,求出
,通过讨论当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
,联立直线和椭圆的方程,结合韦达定理求出m的值,当直线l的斜率不存在时,求出直线方程,代入检验即确定.
设椭圆E的方程为
,
由已知得,解得:
,
所以.
所以椭圆E的方程为.
假设存在符合条件的点
,
设,
,
则,
,
,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
,
由,得:
,
,
,
,
,
对于任意的k值,上式为定值,
故,解得:
,
此时,为定值;
当直线l的斜率不存在时,
直线l:,
,
,
,
由,得
为定值,
综合知,符合条件的点M存在,其坐标为
.
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