题目内容
【题目】设函数,其图象在点
处切线的斜率为-3.
(1)求与
关系式;
(2)求函数的单调区间(用只含有
的式子表示);
(3)当时,令
,设
是函数
的两个零点,
是
与
的等差中项,求证:
(
为函数
的导函数).
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由导数的几何意义得,即可得解;
(2)由(1)知,
,讨论
,
和
时导数的正负,从而得函数的单调性;
(3)根据条件得,两式作差得
,从而得
,
,构造函数求最值即可证得.
试题解析:
(1)函数的定义域为
,
,由
得,
.
(2)由(1)知,
,
①当时,
在
上单调递减;
②当时,令
,得
,
在
上单调递减,在
上单调递增;
③当时,若
时,
在
上单调递减;
若时,
在
上单调递增,在
上单调递减;
综上,当时,
的单调减区间为
,单调增区间为
,
当时,
的单调减区间为
,
当时,
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(3)当时,
,则
,
,
∵与
是函数
的两个零点,∴
,
两式相减得, ,
∵,∴
,
∵,∴
,
∴
,
令,∵
,∴
,
,
,
∴在
单调递减,∴
,
,∴
.
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