题目内容
7．
在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=$\sqrt{2}$PQ，则△PAC的面积的最大值为4$\sqrt{5}$．
分析 以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3，0）为圆心，以r=2$\sqrt{5}$为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．
解答 
解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，
∵AB=BC=2，∴C（3，0），
设P（x，y），
∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=$\sqrt{2}$PQ，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-1}$，
整理，得x2+y2+6x-11=0，
∴点P的轨迹方程是以（-3，0）为圆心，以r=2$\sqrt{5}$为半径的圆，
∴当点P在直线x=-3上时，△PAC的面积的最大，
∴（S△PAC）max=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．
点评 本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
17．已知双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\sqrt{3}$，则双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$ | B． | $y=±\sqrt{2}x$ | C． | y=±2x | D． | $y=±\frac{1}{2}x$ |
15．函数y=f（x）满足对任意x1，x2∈[0，2]（x1≠x2），$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）
| A． | f（1）＜f（$\frac{5}{2}$）＜f（$\frac{7}{2}$） | B． | f（$\frac{7}{2}$）＜f（1）＜f（$\frac{5}{2}$） | C． | f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{5}{2}$）＜f（1） | D． | f（$\frac{5}{2}$）＜f（1）＜f（$\frac{7}{2}$） |
如图所示，P为?ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，$\frac{PF}{FC}$=$\frac{1}{2}$．
我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为$\frac{37k}{{\sqrt{S}}}$元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为$\frac{12k}{{\sqrt{S}}}$元（k为正常数）．