Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对任意m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0，都有 ．
（1）用定义证明函数f（x）在定义域上是增函数；
（2）若 ，求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤（1﹣2a）t+2对所有和x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设任意x1，x2满足﹣1≤x1＜x2≤1，由题意可得 ，

∴f（x）在定义域[﹣1，1]上位增函数

（2）解：由（1）知 ，

∴即a的取值范围为

（3）证明：由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2对任意a∈[﹣1，1]都恒成立，

即1≤﹣2ta+t+2对任意a∈[﹣1，1]都恒成立，

∴ ，

即t的取值范围为

【解析】（1）令﹣1≤x1＜x2≤1，作差f（x1）﹣f（x2）后化积可判断f（x1）﹣f（x2）＜0，从而可证明函数f（x）在定义域上是增函数；（2）利用奇函数在[﹣1，1]上单调递增可得， 解之即可求得实数a的取值范围；（3）由（1）知f（x）max≤（1﹣2a）t+2对任意a∈[﹣1，1]都恒成立1≤﹣2ta+t+2对任意a∈[﹣1，1]恒成立，可求得实数t的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．