题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，侧面
，
，
且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
试题分析：作
的中点
，因为
，且
为
的中点可得
，又侧面
底面
，由此可证
底面,以
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.（Ⅰ）写出相应点的坐标，求出
与
，由
可证
；（Ⅱ）求出平面
的法向量与平面
的法向量，由向量知识求即可.
试题解析：（Ⅰ）作的中点，因为，且为的中点，
∴，
又侧面
，其交线为
，且
，
∴
（2分）
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：
由已知得：
，
，
，
，
，
，则有：
，
，，
∴ （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得可设平面的法向量为
，同理平面的法向量为
，
则满足：
，
解得：
，
，
则
.
∴二面角
的余弦值为. （12分）
名题金卷系列答案
【题目】2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成
， 
， 
， 
， 
五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：
（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过6000元的居民中随机
抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；
（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，
在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或
不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？
经济损失不超过4000元 | 经济损失超过4000元 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款不超过500元 | 6 | ||
合计 |
附：临界值参考公式： 
， 
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 /td> | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】十八届五种全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，提高生殖保健、妇幼保健、托儿等公共服务水平.为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度，某部门随机调查了100位30到40岁的公务员，得到情况如下表：
男公务员 | 女公务员 | |
生二胎 | 40 | 20 |
不生二胎 | 20 | 20 |
（1）是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由；
（2）把以上频率当概率，若从社会上随机抽取3位30到40岁的男公务员，记其中生二胎的人数为
，求随机变量的分布列，数学期望.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附：
