题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，其右焦点
到直线
的距离为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若过作两条互相垂直的直线
，
是
与椭圆的两个交点，
是
与椭圆的两个交点，
分别是线段
的中点，试判断直线
是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由.
【答案】（1）
；（2）直线
过定点
【解析】
（1）由题意得
，求出
，即可求出椭圆方程；
（2）设直线
的方程为
，①当
时，联立方程组
，化简可得
，进而求出
，同理可得
，进而求出
，求出直线的方程，求出必过的定点；②当
时，易知直线过定点；综上即可求出结果.
解：（1）由题意得，∴
，
∴椭圆
的方程为；
（2）由（1）得
，设直线的方程为，点
的坐标分别为
，
①当时，由，得
，
∴，∴
同理，由
，可得
∴直线的方程为
，过定点；
②当时，则直线的方程为
，
∴直线过定点
综上，直线过定点.
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