题目内容
【题目】已知函数,其中
,
为自然对数的底数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出的导函数
,令
,求解三角不等式即可得到函数的单调增区间;
(2)构造函数,通过分类讨论,利用导数求
的最小值,只需
即可.
(1)因为,
故可得.
令,即
,
则,
解得
故的单调增区间为
.
(2)不妨令,
则,
,
令,则
,
故在区间
上单调递增,又
,
故.
①当时,
,
则在区间
上单调递增,
故,
则在区间
上成立,满足题意;
②当时,
在区间
上有实根
,
因为在区间
上单调递增,
则在区间
上也单调递增
故在区间
上单调递减,在
上单调递增,
则存在时,
,
不满足题意.
③当时,
则在区间
上单调递减,
故,
不满足题意.
综上所述:实数的取值范围为
.
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