题目内容
【题目】若 则
在
内的所有零点之和为:__________.
【答案】
【解析】
函数f(x)是分段函数,要分区间进行讨论,当1≤x≤2,f(x)是二次函数,当x>2时,利用函数的性质求解各区间上零点,最后作和求出.
当时,f(x)=8x﹣8,
所以,此时当
时,g(x)max=0;
当时,f(x)=16﹣8x,所以g(x)=﹣8(x﹣1)2+2<0;
由此可得1≤x≤2时,g(x)max=0.
下面考虑2n﹣1≤x≤2n且n≥2时,g(x)的最大值的情况.
当2n﹣1≤x≤32n﹣2时,由函数f(x)的定义知,
因为,
所以,
此时当x=32n﹣2时,g(x)max=0;
当32n﹣2≤x≤2n时,同理可知,.
由此可得2n﹣1≤x≤2n且n≥2时,g(x)max=0.
综上可得:对于一切的n∈N*,函数g(x)在区间[2n﹣1,2n]上有1个零点,
从而g(x)在区间[1,2n]上有n个零点,且这些零点为,因此,所有这些零点的和为
.
故答案为:.

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