题目内容
【题目】如图,三棱柱的棱长均为2,O为AC的中点,平面A'OB⊥平面ABC,平面
⊥平面ABC.
(1)求证:A'O⊥平面ABC;
(2)求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由已知可得AC⊥BO,平面A'OB⊥平面ABC,可证AC⊥平面BOA′,进而证明AC⊥A′O,再由面⊥平面ABC.,即可证明结论;
(2)以O为原点建立空间直角坐标系,求出坐标,求出平面
法向量坐标,取平面ABC的法向量为
(0,0,1),根据空间向量面面角公式,即可求解.
(1)证明:∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2,
O为AC的中点,∴AC⊥BO,
∵平面A'OB⊥平面ABC,平面A'OB∩平面ABC=OB,
平面ABC,∴AC⊥平面BOA′,
平面BOA′,∴AC⊥A′O,
∵平面AA'C'C⊥平面ABC,平面AA'C'C∩平面ABC=AC.
平面
,∴A'O⊥平面ABC.
(2)解:由(1)得A'O⊥平面ABC,因为平面ABC,所以A'O⊥
.
以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA′为z轴,
建立空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0),B(,0,0),
C(0,1,0),C′(0,2,),
(
,1,0),
(
,2,
),
设平面BCC′的法向量(x,y,z),
则,
取x=1,则,得
(1,
,﹣1),
平面ABC的法向量(0,0,1),
.
∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值为.
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