Question

5．四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（6，2），B（4，6），C（2，6），直线y=kx（$\frac{1}{3}$＜k＜3）把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积．
（1）求S=f（k）的函数表达式；
（2）当k为何值时，直线y=kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图象，求出|OA|、|BC|、直线OA的方程，由点到直线的距离求出点B到直线OA的距离，求出四边形OABC的面积S，根据图象分类讨论，分别由图象求出靠近x轴一侧那部分的面积表达式，再用分段函数的形式表示出来；
（2）由（1）和条件列出方程求出k的值．

解答 解：（1）由题意画出图象：|OA|=$\sqrt{36+4}$=2$\sqrt{10}$，|BC|=2，
直线OA的方程是y=$\frac{1}{3}$x，则x-3y=0，
∴点B到直线OA的距离d=$\frac{|4-18|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{14}{\sqrt{10}}$，
则四边形OABC的面积S=S_△AOB+S_△BOC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\frac{14}{\sqrt{10}}+\frac{1}{2}×2×6$=20，
①当直线y=kx与AB相交时，此时$\frac{1}{3}＜k≤\frac{3}{2}$，
由A（6，2），B（4，6），得直线AB的方程是y-2=$\frac{6-2}{4-6}$（x-6），即y=-2x+14，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-2x+14}\end{array}\right.$得，x=$\frac{14}{k+2}$，y=$\frac{14k}{k+2}$，
∴直线AB与直线y=kx的交点坐标是P（$\frac{14}{k+2}$，$\frac{14k}{k+2}$），
则点P到直线OA的距离d′=$\frac{|\frac{14}{k+2}-3×\frac{14k}{k+2}|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{14|}{\sqrt{10}}|\frac{1-3k}{k+2}|$，
∴△POA的面积S=$\frac{1}{2}×|OA|×d′$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×\frac{14|}{\sqrt{10}}|\frac{1-3k}{k+2}|$=$14|\frac{1-3k}{k+2}|$；
②当直线y=kx与BC相交时，此时$\frac{3}{2}＜k＜3$，
则交点坐标是（$\frac{6}{k}$，6），
∴靠近x轴一侧那部分的面积S=20-$\frac{1}{2}×6×（\frac{6}{k}-2）$=$26-\frac{18}{k}$，
∴S=f（k）=$\left\{\begin{array}{l}{14|\frac{1-3k}{k+2}|，\frac{1}{3}＜k≤\frac{3}{2}}\\{26-\frac{18}{k}，\frac{3}{2}＜k＜3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，当直线y=kx与AB相交时，此时$\frac{1}{3}＜k≤\frac{3}{2}$，
直线y=kx可将四边形OABC分为面积相等的两部分，
∴$14|\frac{1-3k}{k+2}|$=$\frac{1}{2}×20$，解得k=$\frac{-3}{26}$或$\frac{17}{16}$，
则k的值是$\frac{17}{16}$．

点评 本题考查分段函数在实际生活中的应用，两点之间、点到直线的距离公式，直线方程的求法等等，以及分割法求图形的面积，考查分类讨论思想，数形结合思想，化简、计算能力，属于中档题．