Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{b}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，A+3C=B，
（1）求cosC的值；
（2）若b=3$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=$\frac{π}{2}$+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；
（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA的值，代入三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B-3C，
代入A+B+C=π得，B=$\frac{π}{2}$+C，所以sinB=cosC＞0，
∵$\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴由正弦定理得，$\frac{sinB}{sinC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{cosC}{sinC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，①
又sin²C+cos²C=1，②
由①②得，cos²C=$\frac{4}{7}$，则cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$；
（2）∵$\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=3$\sqrt{3}$，∴c=$\frac{9}{2}$，
由（1）知sinB=cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，且B=$\frac{π}{2}$+C，
∴cosB=-$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$，同理可得sinC=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$+（-$\frac{\sqrt{21}}{7}$）×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\frac{1}{7}$
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×\frac{9}{2}×\frac{1}{7}$=$\frac{27\sqrt{3}}{28}$．

点评 本题考查正弦定理，平方关系，两角和的正弦公式，以及三角形的面积公式的应用，注意内角的范围，属于中档题．