围建一个地面面积为900平方米的矩形场地的围墙.有一面长度为a米的旧墙.有甲.乙两种维修利用旧墙方案．甲方案:选取部分旧墙维修后单独作为矩形场地的一面围墙(如图①.多余部分不维修),乙方案:旧墙全部利用.维修后再续建一段新墙共同作为矩形场地的一面．已知旧墙维修费用为10元/米.新墙造价为80元/米．(1)如果按甲方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．围建一个地面面积为900平方米的矩形场地的围墙，有一面长度为a米（0＜a≤30）的旧墙（图中斜杠部分），有甲、乙两种维修利用旧墙方案．甲方案：选取部分旧墙维修后单独作为矩形场地的一面围墙（如图①，多余部分不维修）；乙方案：旧墙全部利用，维修后再续建一段新墙共同作为矩形场地的一面（如图②）．已知旧墙维修费用为10元/米，新墙造价为80元/米．

（1）如果按甲方案修建，怎样修建，使得费用最小？
（2）如果按乙方案修建，怎样修建，使得费用最小？
（3）比较两种方案，哪种方案更好？

分析（1）设选取x米长的旧墙，求得矩形的另一边为$\frac{900}{x}$，由题意，可得修建费用y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，运用y=ax+$\frac{b}{x}$的单调性，可得最小值；
（2）设靠旧墙的一边长为x米，其中旧墙为a米，求得矩形的另一边为$\frac{900}{x}$米，由题意，可得修建费用y₂=10a+80（x-a）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，再由y=ax+$\frac{b}{x}$的单调性，可得最小值；
（3）运用作差，即y₁-y₂，结合a的范围，即可判断．

解答解：（1）设选取x米长的旧墙，
则矩形的另一边为$\frac{900}{x}$，
由题意，可得修建费用y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$
=90（x+$\frac{1600}{x}$）（0＜x≤a≤30），
由y=x+$\frac{1600}{x}$在（0，a]递减，可得
y₁的最小值为90a+$\frac{144000}{a}$；
（2）设靠旧墙的一边长为x米，其中旧墙为a米，
则矩形的另一边为$\frac{900}{x}$米，
由题意，可得修建费用y₂=10a+80（x-a）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$
=160（x+$\frac{900}{x}$）-70a，（x≥a），
由y=x+$\frac{900}{x}$在[a，+∞）递增，可得
y₂的最小值为160a+$\frac{144000}{a}$-2100．
（3）由y₁-y₂＞2100-70a≥0，
即y₁＞y₂．
则乙方案更好．

点评本题考查基本不等式在最值问题中的运用，解题的关键是正确审题，设出变量，求得函数的解析式及定义域，属于中档题．

练习册系列答案

8．（x²-2x+1）⁴的展开式中x⁷的系数是-8．

5．

四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（6，2），B（4，6），C（2，6），直线y=kx（$\frac{1}{3}$＜k＜3）把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积．
（1）求S=f（k）的函数表达式；
（2）当k为何值时，直线y=kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．

12．圆心坐标（2，2），半径等于$\sqrt{2}$的圆的方程是（　　）

2．命题“对?x≥0，都有x²+x-1＞0”的否定是?x≥0，都有x²+x-1≤0．

9．已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；
（2）当|PQ|=2$\sqrt{3}$时，求直线l的方程．

6．

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，过E作圆的切线交BC于D点．连结OD交圆O于点M．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）求证：D是BC的中点；
（3）求证：2DE²=DM•AC+DM•AB．

7．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]=2，[-2.5]=-3，令{x}=x-[x]，则{$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$}，[$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$]，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，三个数构成的数列（　　）

	A．	是等比数列但不是等差数列		B．	是等差数列但不是等比数列
	C．	既是等差数列又是等比数列		D．	既不是等差数列也不是等比数列

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