题目内容
【题目】若,
为自然数
,则下列不等式:①
;②
;③
,其中一定成立的序号是__________.
【答案】①③.
【解析】
对于①根据不等式,作差并构造函数,利用导数证明函数的单调性即可比较大小;对于不等式②,根据移项变形,构造函数
,通过求
即可判断函数的单调性,比较大小即可;对于③,构造函数
,利用换底公式,求导即可判断函数的单调性,进而比较大小即可.
对于①若成立.两边同时取对数可得
,化简得
因为
则,不等式两边同时除以
可得
令,
则
当时,
,所以
即在
内单调递增
所以当时
,即
所以
故①正确
对于②若,化简可得
令,
则
由可知
在
内单调递增
而
所以在
内先负后正
因而在
内先递减,再递增,所以当
时无法判断
与
的大小关系.故②错误.
对于③,若
令
利用换底公式化简可得,
则
当时,
所以,即
则在
内单调递减
所以当时,
即
所以③正确
综上可知,正确的为①③
故答案为: ①③

练习册系列答案
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【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响,某校随机抽取100名学生,对学习成绩和使用手机情况进行了调查,统计数据如表所示(不完整):
使用手机 | 不使用手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | |
学习成绩一般 | 30 | ||
总计 | 100 |
(1)补充完整所给表格,并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关;
(2)现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人,再从这6人中随机抽取3人,求其中学习成绩优秀的学生恰有2人的概率.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |