Question

17．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n²+2a_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=S₁=，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，即可得到所求；
（Ⅱ）${b_n}=2n•{3^n}$，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式计算即可得到．

解答 解：（Ⅰ）$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}（n∈N*）$．
当n=1时，可得4a₁=4S₁=a₁²+2a₁，
解得a₁=2，
由$4{S_n}={a_n}^2+2{a_n}$，n用n-1代，
两式相减得${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=2（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
得a_n=2n．对n=1也成立．
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
（Ⅱ）${b_n}=2n•{3^n}$，
错位相减法可以得S_n=2•3+4•3²+…+2n•3ⁿ，
3S_n=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-2S_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=2（$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法，及等比数列的求和公式的运用，属于中档题．