题目内容

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,且椭圆上存在一点,满足.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点,求的内切圆的半径的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】

1)利用余弦定理和椭圆的定义即可求出a,再根据b2a2c23,可得椭圆的方程;2)设Ax1y1),Bx2y2),设△F1AB的内切圆的半径为R,表示出△F1AB的周长与面积,设直线l的方程为xmy+1,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,表示三角形面积,令t,利用函数的单调性求解面积的最大值,然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为

(1)设,则内,

由余弦定理得,化简得,解得

,得

所以椭圆的标准方程为

(2)设,设得内切圆半径为

的周长为

所以

根据题意知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为

由韦达定理得

,则

,则时,单调递增,

即当时,的最大值为,此时.

故当直线的方程为时,内圆半径的最大值为.

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