题目内容
【题目】设椭圆为左右焦点,
为短轴端点,长轴长为4,焦距为
,且
,
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)设动直线椭圆
有且仅有一个公共点
,且与直线
相交于点
.试探究:在坐标平面内是否存在定点
,使得以
为直径的圆恒过点
?若存在求出点
的坐标,若不存在.请说明理由.
【答案】(1) (2)存在定点P(1,0)
【解析】
(Ⅰ)由椭圆长轴长为4,焦距为2c,且b>c,△BF1F2的面积为,列方程组,求出a,b,c,得椭圆方程.(Ⅱ)将直线l方程与椭圆方程联立,由直线与椭圆有且只有一个公共点,求出M,由
,得N(4,4k+m).假设存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上.设P(x1,0),由
,得(4x1﹣4)
+x12﹣4x1+3=0,由此可求出满足条件的定点.
(1)由题意知,解得:
,故椭圆C的方程是
.
(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点M(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,
即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)
此时x0=-=-
,y0=kx0+m=
,所以M(-
由得N(4,4k+m).
假设平面内存在定点P满足条件,由图形对称性知,点P必在x轴上.
设P(x1,0),则对满足(*)式的m、k恒成立.
因为=(-
,
=(4-x1,4k+m),由
,
得-+
-4x1+x+
+3=0,
整理,得(4x1-4)+x-4x1+3=0.(**)
由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.
故存在定点P(1,0),使得以MN为直径的圆恒过点M.
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【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示:
(1)由频率分布直方图,估计这100人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |