题目内容
【题目】如图，点
为正四棱锥
的底面中心，四边形
为矩形，且
，
．
（1）求正四棱锥的体积；
（2）设
为侧棱
上的点，且
，求直线
和平面
所成角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据条件求出底面面积，用锥体体积公式即可求解；（2）以O点为原点建立空间直角坐标系，求出直线
的方向向量
和平面
的法向量
的坐标，用公式
求解即可。
解：（1）由已知可得
，
注意到
，故底面正方形
的边长
，
所以正四棱锥
的体积为
…
．
（2）以
为原点，
，
，
分别为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得
，
，
，
，
．
设平面的一个法向量为
，则
，
所以
，
又
，
，即
．
解得
可取
依题意可得
，现设
，则
，
那有
，故
，故
，
从而
，…
设直线和平面所成角为
，则
，
∵
，∴
，
故，直线和平面所成角的大小为．
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学生编号 |
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(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为
，求随机变量的分布列及其数学期望.
