题目内容
【题目】如图所示的多面体中,四边形
为菱形,且
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若平面平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连结BD,交AC于M,连结FM,MG,证明即可解决问题。
(2)建立空间直角坐标系,求得平面的一个法向量
及
,利用空间向量夹角公式即可求得直线EC与平面ACF所成角的正弦值,问题得解
证明:(1)连结BD,交AC于M,连结FM,MG,
因为BC=AD=2EF,EF∥BC,BC∥AD,所以,
在△ACD中,M,G分别为AC,CD的中点,所以,
所以,所以四边形EFMG是平行四边形,
所以EG∥FM,
又因为FM平面ACF,EC
平面ACF,所以EG∥平面ACF.
(2)取AB的中点O,连结FO,OC,
因为AF=BF=BC,∠ABC=60°,四边形ABCD为菱形,所以FO⊥AB,OC⊥AB,
因为平面ABF⊥平面ABCD,所以FO⊥平面ABCD,
故以O为原点,,
,
分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,设AF=BF=BC=2EF=2.
则A(-1,0,0),C(0,,0),F(0,0,
),E(
,
,
),
=(1,
,0),
,
,
设=
是平面ACF的一个法向量,
则,
,
令y=z=1,则,故
=(
,1,1),
设直线EC与平面ACF所成角为,
则,
所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目