Question

5．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若关于x的方程f（x）-m=2在x$∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）由x$∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$和三角函数的知识可得f（x）的值域为[2，3]，进而可得m+2∈[2，3]，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）化简可得f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=1+2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x$∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴cos（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）的值域为[2，3]，
方程f（x）-m=2可化为f（x）=m+2，
∴m+2∈[2，3]，∴m+2∈[0，1]，
∴实数m的取值范围为：[0，1]

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．