Question

10．已知a＞1，若函数f（x）=log_ax-a^x有零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （1，e]
• B． （1，$\sqrt{e}$]
• C． （1，${e}^{\frac{1}{e}}$]
• D． （1，${e}^{\sqrt{e}-1}$]

Answer 1

分析 由反函数知只需使y=x与y=a^x的图象有交点，解直线y=x与y=a^x相切时的a的值，从而求a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=log_ax-a^x有零点，
∴y=log_ax与y=a^x的图象有交点，
又∵y=log_ax与y=a^x互为反函数，
∴只需使y=x与y=a^x的图象有交点，
当直线y=x与y=a^x相切时，设切点为（x，a^x），
则lna•a^x=$\frac{{a}^{x}}{x}$，
故x=$\frac{1}{lna}$=log_ae，
故lna•${a}^{lo{g}_{a}e}$=1，
故a=${e}^{\frac{1}{e}}$；
故a的取值范围是（1，${e}^{\frac{1}{e}}$]；
故选：C．

点评 本题考查了反函数的性质的判断与应用及导数的综合应用．