Question

20．已知函数f（x）=acosx+b的最小值是-$\frac{1}{2}$，最大值是$\frac{3}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 根据余弦函数的有界性，讨论a的取值范围，结合函数y的最大、最小值，列出方程组，求出a，b的值．

解答 解：∵-1≤cosx≤1，
∴当a＞0时，-a≤acosx≤a，
∴-a+b≤acosx+b≤a+b；
由函数y=acosx+b的最小值是-$\frac{1}{2}$，最大值是$\frac{3}{2}$，
得$\left\{\begin{array}{l}b-a=-\frac{1}{2}\\ b+a=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=$\frac{1}{2}$；
当a=0时，不满足题意；
当a＜0时，a≤acosx≤-a，
∴a+b≤acosx+b≤-a+b，
由函数y=acosx+b的最大值为1，最小值为-7，
得$\left\{\begin{array}{l}b-a=\frac{3}{2}\\ b+a=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=$\frac{1}{2}$；
综上，a=1，b=$\frac{1}{2}$，或a=-1，b=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的最值问题，也考查了方程组的解法与应用问题以及分类讨论思想的应用问题，是基础题目．