题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若
是定义域上的增函数，求
的取值范围；
（2）设
，
分别为的极大值和极小值，若
，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）先写出函数的定义域，对函数求导，
是定义域上的增函数，转化为
，即
恒成立，从而求出
的取值范围；
（2）将
表示为关于
的函数，由
且
，得
，设方程
，即
得两根为，
，且
，利用韦达定理可得
，
，由
，从而得到
，根据题意可得
，由
得
，将其代入上边式子可得
，之后令
，则
，从而有
，，则
，利用导数研究函数可得结果.
（1）
的定义域为
，
∵在定义域内单调递增，∴，即
对
恒成立.
则恒成立.
∴
∵
∴
所以，的取值范围是
（2）将表示为关于的函数，
由且，得
设方程，即得两根为，，且.
则
，
，∵，
∴ ∴
∵
∴代入得
令，则，得，，则
∴
而且
上递减，从而
即
∴.
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