Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=$\frac{n+3}{2}$-a_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n=3-$\frac{n+3}{n+1}$a_n（n∈N^*）．代入计算，可得结论；
（Ⅱ）猜想an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（Ⅰ） a₁=1，a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{5}{8}$，a₄=$\frac{9}{16}$
（Ⅱ） 由此猜想a_n=$\frac{{2}^{n-1}+1}{{2}^{n}}$．    
证明：①当n=1时，a₁=1，结论成立． 
②假设n=k（k≥2且k∈N^*）时，结论成立，即a_k=$\frac{{2}^{k-1}+1}{{2}^{k}}$，
那么n=k+1时，a_k+1=s_k+1-s_k=$\frac{（k+1）+3}{2}$-a_k+1-$\frac{k+3}{2}$+a_k=$\frac{1}{2}$+a_k-a_k+1，
所以a_k+1=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{{2}^{k-1}+1}{{2}^{k}}}{2}$=$\frac{{2}^{k-1}+{2}^{k-1}+1}{2•{2}^{k}}$=$\frac{{2}^{k}+1}{{2}^{k+1}}$，
这表明n=k+1时，结论成立，
由①②知a_n=$\frac{{2}^{n-1}+1}{{2}^{n}}$（n∈N⁺）成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法