题目内容
19.已知数列{an}满足Sn=2n-an+1(n∈N*),其中Sn表示数列{an}的前n项和.(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
分析 (1)根据题设条件,可求a1,a2,a3,a4的值,猜想{an}的通项公式.
(2)利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明.
解答 解:(1)a1=$\frac{3}{2}$,a2=$\frac{7}{4}$,a3=$\frac{15}{8}$,a4=$\frac{31}{16}$,猜测 an=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$,
(2)①由(1)知当n=1时,命题成立; ②假设n=k时,命题成立,即ak=2-$\frac{1}{{2}^{k}}$,
当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1+1-2k+ak-1,
∴ak+1=1+$\frac{1}{2}$ak=1+$\frac{1}{2}$(2-$\frac{1}{{2}^{k}}$)=2-$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
即当n=k+1时,命题成立.
根据①②得n∈N*),an=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$ 都成立.
点评 此题主要考查归纳法的证明,归纳法一般三个步骤:(1)验证n=1成立;(2)假设n=k成立;(3)利用已知条件证明n=k+1也成立,从而求证,这是数列的通项一种常用求解的方法
练习册系列答案
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8.已知数列{an}是递增数列,且an=$\left\{{\begin{array}{l}{(λ-1)n+5}\\{{{(3-λ)}^{n-4}}+5}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{(n≤4)}\\{(n>4)}\end{array}$(n∈N*),则λ的取值范围为( )
A. | (1,2) | B. | (1,$\frac{5}{4}$] | C. | (1,$\frac{5}{4}$) | D. | (1,$\frac{7}{5}$) |