题目内容
12.PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<$\overrightarrow{DP}$,$\overrightarrow{AE}$>=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,若以如图所示建立空间直角坐标系,则E点坐标为( )A. | (1,1,2) | B. | (2,2,1) | C. | (1,1,1) | D. | $(1\;,\;1\;,\;\frac{1}{2})$ |
分析 利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出.
解答 解:设P(0,0,t),(t>0),D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(1,1,$\frac{t}{2}$),
∴$\overrightarrow{DP}$=(0,0,t),$\overrightarrow{AE}$=$(-1,1,\frac{t}{2})$.
∴$\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{{t}^{2}}{2}$,$|\overrightarrow{DP}|$=t,$|\overrightarrow{AE}|$=$\sqrt{2+\frac{{t}^{2}}{4}}$.
∵cos<$\overrightarrow{DP}$,$\overrightarrow{AE}$>=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$\frac{\frac{{t}^{2}}{2}}{t×\sqrt{2+\frac{{t}^{2}}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得t=2.
∴E(1,1,1).
故选:C.
点评 本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、中点坐标公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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A. | x2+y2+3x=0 | B. | x2-y2-3x=0 | C. | x2-y2+3x=0 | D. | x2+y2-3x=0 |