题目内容

17.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对应边长,已知2sin2A=3cosA.
(1)求∠A;
(2)若a=$\sqrt{3}$,求△ABC面积的最大值.

分析 (1)根据已知等式求得cosA的值,进而求得A.
(2)根据余弦定理建立等式,利用基本不等式的性质确定bc的最大值,进而代入三角形面积公式求得面积的最大值.

解答 解:(1)∵2sin2A=3cosA,
∴2(1-cos2A)=3cosA,
∴2cos2A+3cosA-2=0,
解得cosA=$\frac{1}{2}$,
∵0<A<π,
∴A=$\frac{π}{3}$.
(2)∵S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc,
又∵b2+c2-a2=bc,
∴a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
当且仅当a=b时等号成立,
∴bc≤a2=($\sqrt{3}$)2=3,
∴S△ABC≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.即△ABC面积的最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.解题的关键是确定bc的范围.

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