题目内容

3.如图,已知⊙M:(x-4)2+y2=1和抛物线C:y2=2px(p>0,其焦点为F),且$\overrightarrow{FM}$=($\frac{15}{4}$,0,),过抛物线C上一点H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线分别与⊙M相切于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)求直线AB在y轴上的截距的最小值.

分析 (1)求得抛物线的焦点和圆的圆心,由条件可得圆心M到抛物线C的焦点的距离为$\frac{15}{4}$,即可得到抛物线方程;
(2)设出H的坐标,由中点坐标公式和直径式圆的方程可得MH为直径的圆,运用和已知圆相减,可得AB的方程,再令x=0,可得截距的表达式,由函数的单调性,即可得到最小值.

解答 解:(1)由题意知⊙M的圆心M的坐标为(4,0),
抛物线C的焦点为($\frac{p}{2}$,0),
由$\overrightarrow{FM}$=($\frac{15}{4}$,0),
圆心M到抛物线C的焦点的距离为$\frac{15}{4}$,即4-$\frac{p}{2}$=$\frac{15}{4}$,解得p=$\frac{1}{2}$,
从而抛物线C的方程为y2=x;
(2)由(1)知,设点H (y02,y0),
则HM的中点($\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2}$,$\frac{{y}_{0}}{2}$),
以HM为直径的圆为(x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{2}$)2+(y-$\frac{{y}_{0}}{2}$)2=$\frac{({{y}_{0}}^{2}-4)^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{4}$…①
⊙M:(x-4)2+y2=1 …②
①-②得:直线AB的方程为(4-y02)x-y0y+4y02-15=0,
令x=0,得直线AB在y轴上的截距为d=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}-15}{{y}_{0}}$=4y0-$\frac{15}{{y}_{0}}$(y0≥1)
函数f(y0)=4y0-$\frac{15}{{y}_{0}}$在[1,+∞)为单调递增函数,
∴直线AB在y轴上的截距的最小值为4×1-$\frac{15}{1}$=-11.

点评 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线方程的运用,同时考查圆的方程的运用,由四点共圆和两元方程相减得到相交弦方程是解题的关键,属于中档题.

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