在数列{an}中.设an+1+3an=0.且a1=-1.求{an}的通项公式和前n项和公式．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．在数列{a_n}中，设a_n+1+3a_n=0，且a₁=-1，求{a_n}的通项公式和前n项和公式．

分析根据已知条件a_n+1+3a_n=0得到 $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ =-3，可知数列{a_n}是首项为a₁=-1、公比为-3的等比数列，结合等比数列的通项公式和前n项和公式进行解答即可．

解答解：∵a_n+1+3a_n=0，
∴ $\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ =-3，
又∵a₁=-1，
∴数列{a_n}是首项为a₁=-1、公比q=-3的等比数列，
∴a_n=a₁•q^n-1=-1×（-3）^n-1=-（-3）^n-1．
S_n= $\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$ = $\frac{-1×[1-（-3）^{n}]}{1-（-3）}$ =- $\frac{1-（-3）^{n}}{4}$ ．

点评本题考查了等比数列的基本知识，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．

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$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$ =（　　）

A．

$-\frac{1}{2}{a^2}$

B．

$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$

C．

$\frac{1}{2}{a^2}$

D．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$

7．

如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则

$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$ 的值为

$\frac{7}{2}$ ．

16．已知z∈C，|z-（1+i）|=1，则|z+2+3i|的最小值为4．

3．

如图，已知⊙M：（x-4）²+y²=1和抛物线C：y²=2px（p＞0，其焦点为F），且

$\overrightarrow{FM}$ =（

$\frac{15}{4}$ ，0，），过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线分别与⊙M相切于A、B两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线AB在y轴上的截距的最小值．

13．

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点都在椭圆

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ +

$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）上，对角线AC与BD分别过椭圆的左焦点F₁（-1，0）和右焦点F₂（1，0），且AC⊥BD，椭圆的一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围．

20．已知数列{a_n}是正项等差数列，若c_n=

$\frac{{{a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}}}{1+2+3+…n}$ ，则数列{c_n}也为等差数列．已知数列{b_n}是正项等比数列，类比上述结论可得（　　）

	A．	若{d_n}满足d_n= $\frac{{{b_1}+2{b_2}+3{b_3}+…+n{b_n}}}{1+2+3+…n}$ ，则{d_n}也是等比数列
	B．	若{d_n}满足d_n= $\frac{{{b_1}•2{b_2}•3{b_3}•…•n{b_n}}}{1•2•3•…•n}$ ，则{d_n}也是等比数列
	C．	若{d_n}满足 ${d_n}={[{b_1}•（2{b_2}）•（3{b_3}）•…•（n{b_n}）]^{\frac{1}{1+2+…+n}}}$ ，则{d_n}也是等比数列
	D．	若{d_n}满足 ${d_n}={[{b_1}•{b_2}^2•{b_3}^3•…•{b_n}^n]^{\frac{1}{1+2+…+n}}}$ ，则{d_n}也是等比数列

17．已知椭圆

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$ +

$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点（

$\sqrt{2}$ ，

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂，试问：当k变化时，m²是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

18．在等比数列{a_n}中，a₁=5，q=1，则S₆=（　　）

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